El Principio de Bernoulli

El fluido hidráulico en un sistema contiene energía en dos formas: energía cinética en virtud del peso y de la velocidad y energía potencial en forma de presión. Daniel Bernoulli, un científico Suizo demostró que en un sistema con flujos constantes, la energía es transformada cada vez que se modifica el área transversal del tubo.

El principio de Bernoulli dice que la suma de energías potencial y cinética, en los varios puntos del sistema, es constante, si el flujo sea constante. Cuando el diámetro de un tubo se modifica, la velocidad también se modifica.

La energía cinética aumenta o disminuye. En tanto, la energía no puede ser creada ni tampoco destruida. Enseguida, el cambio en la energía cinética necesita ser compensado por la reducción o aumento de la presión.

El uso de un venturi en el carburador de un automóvil es un ejemplo del principio de Bernoulli. En el pasaje de aire a través de la restricción la presión se disminuye. Esa reducción de presión permite que la gasolina fluya, se vaporice y se mezcle con el aire.

Teorema de Bernoulli

El teorema de Bernoulli aplicado a dos secciones de una tubería que transporta un fluido, traduce en términos analíticos el principio de la conservación de la energía.

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La ecuación permite constatar que la variación de energía (pérdida) sucedida aguas arriba o aguas abajo de la tubería, es debida a la variación de presión.

Ecuación de Continuidad

La ecuación de continuidad traduce, en flujo de fluido incompresible el principio de conservación de la masa

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Conservación de la cantidad de movimiento

El principio de la conservación de la cantidad de movimiento está basado en la segunda ley de Newton y establece que la fuerza es igual a la variación del movimiento lineal en orden del tiempo.

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Fórmula de Renouard

En el caso del dimensionado de redes de abastecimiento de gas combustible es común la utilización de las fórmulas de Renouard simplificadas, válidas para una combinación limitada de unidades. Para la determinación de las pérdidas de carga se deben distinguir las situaciones de baja, media y alta presión.

Baja Presión

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Media y alta presión (presiones efectivas superiores a 50 mbar):

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Siendo:

P_A – Presión absoluta en bar/mbar en el punto A.

P_B – Presión absoluta en bar/mbar en el punto B.

P_A – P_B – Pérdida de carga en bar/mbar.

P_A² – P_B² – Pérdida de carga cuadrática (bar²)

Q – Caudal en m³/h

D – Diámetro del conducto en mm

L – Largo del conducto en Km

d_c (S) – Densidad ficticia o corregida, correspondiente a la densidad real afectada de un coeficiente en función de la viscosidad.

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Las fórmulas de Renouard simplificadas son aplicables para valores de la relación

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Operaciones con intervalos

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrarán intervalos.
Debido a su gran utilidad en este Capítulo, las operaciones que nos interesa definir aquí son: la intersección, la unión y la diferencia de conjuntos.

	Definición
	Sean y conjuntos. Se define la intersección de y y se denota $A \cap B$ , al conjunto cuyos elementos pertenecen a y también a . Simbólicamente se tiene que:

Ejemplo
Si

. Determine $A \cap B$
Solución
Los elementos que están en

y también en

son: 4 y 5.
Por lo tanto:

$\begin{displaymath}{A \cap B} = \{4,5 \} \end{displaymath}$

Ejemplo

Si $A = [0,5] \; \;$ y

. Determine $A \cap B$
Solución
Geométricamente podemos representar los conjuntos

de la manera siguiente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en

y también en

son los números reales que están entre 2 y 5, incluyendo a éstos; por lo que:

$\begin{displaymath}A \cap B = [0,5] \cap [2,7] = [2,5] \; \; \mbox{ o sea: } \; \; A \cap B = [2,5] \end{displaymath}$

Ejemplo
Si $A = [-2,3]\; \;$ y $\; \; B = \{-2,3 \}$ Determine $A \cap B$
Solución
Geométricamente podemos representar a los conjuntos

de la siguiente manera:

De aquí observamos que los únicos elementos que están en

y también en

son -2 y 3; por lo que:

$\begin{displaymath}A \cap B = [-2,3] \cap \{-2,3 \} = \{-2,3 \} \; \; \mbox{ o sea } \; \; A \cap B = \{-2,3 \} \end{displaymath}$

Ejemplo

Si $A = ]-3,4[ \; \;$ y $B = \{-3,4 \}$ .Determine $A \cap B$
Solución

Como podemos observar

no tienen elementos comunes por lo que:

$\begin{displaymath}A \cap B = \; \; ]-3,4[ \; \; \cap \; \; \{-3,4 \} \; \; = \; \emptyset\end{displaymath}$

Ejercicio

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A \cap B$ .

$A = \; [2,5]\;$ ; $\; \; \; B = [-1,3[$
$A = \; [2,+\infty[\;$ ; $\; \; \; B = \; \; ]-\infty,5[$
$A = [-3,11[\; \;$ ; $\; \; \; B = \{6,11 \}$
;

	Definición
	Sean y y conjuntos. Se define la unión de y y se denota $A \cup B$ , al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos y . Simbólicamente se tiene que: $A \cup B = \{x/x \in A \; \; \mbox{ o }\; \; x \in B \}$

Ejemplo

Si $A = \{1,2,3,4,5 \} \; \;$ y $\; \;B = \{4,5,6 \}$ . Determine $A \cup B$
Solución
$A \cup B \; = \; \{1,2,3,4,5 \} \; \;\; \cup \; \; \{4,5,6 \} \; = \;\{1,2,3,4,5,6\} \;\; \mbox{ o sea } \; A \cup B = \; \{1,2,3,4,5,6\}$
Ejemplo
Si $A = [-3,4]\; \;$ y $\; \; B = [-1,7]$ .Determine $A \cup B$
Solución
Representaremos a

y a

geométricamente:

De aquí podemos observar que los elementos que están en

o en

, son los números reales que están entre -3 y 7, incluyendo a éstos, así:

$\begin{displaymath}A \cup B = \; [-3,4] \; \; \cup \; \; [-1,7] \; = \; [3,7]\; \; \mbox{ o sea } \; \; A \cup B = \; [3,7]\end{displaymath}$

Ejemplo
Si $A = \; ]-\infty,2[ \; \;$ y $\; \; B = \{-2,2 \}$ . Determine $A \cup B$
Solución
Representaremos a

y a

geométricamente:

De aquí observamos que: $\; A \cup B = \; ]-\infty,2[ \; \; \; \cup \; \; \{-2,2\} \; = \;\; ]-\infty,2]$

Ejemplo
Si $A = \;\; ]-3,5[ \; \;$ y $\; \; B = \{3,4,5,6,7,8\}$ . Determine $A \cup B$
Solución
Representemos a

y a

geométricamente:

De aquí observamos que: $\; \; A \cup B = \; \; ]-3,5] \; \cup \; \{6,7,8\}$

Ejemplo

Si $A = \; ]-4,2[ \; \;$ y $\; \; B = ]5,+\infty[$ . Determine $A \cup B$
Solución
Representaremos a

y a

geométricamente:

De aquí observamos que: $\; A \cup B = \; ]-4,2[ \; \; \; \cup \; \; ]5,+\infty[$
Geométricamente podemos representar $\; A \cup B$ así:

Ejercicios

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A \cup B$ y represente geométricamente los conjuntos A, B y $A \cup B$ .

$A = \; [-2,5]\;$ $\; \; \; B = ]0,7[$
$A = \;]-5,3]\;$ $\; \; \; B = \{-5,0,5,10\}$
$A = \;]-\infty,-1[\; \;$ $\; \; B = ]2,+\infty[$
$A = \;]-\infty,3[\; \;$ $\; \; B = ]3,+\infty[$
$A = \;[3,5[\;$ $\; \; \; B = \{8,10\}$
$A = \;]-\infty,2[\; \;$ $\; \; B = ]0,+\infty[$

	Definición
	Sean y conjuntos. Se define la diferencia de y y se denota , al conjunto cuyos elementos pertenecen a y no a .

Ejemplo

Si $A = \; \{2,4,6,8,10 \} \; \;$ y $\; \; B = \{1,2,3,4,5 \}$ . Determine

Solución
i. Los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B son

; por lo que $A - B = \{6,8,10\}$
ii. Los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A son

; por lo que $B - A = \{1,3,5\}$

Ejemplo

Si $A = \; [-3,5] \; \;$ y $\; \; B = \{5 \}$ , determine

Solución
$A - B = [-3,5] - \{5\} = [-3,5[$ o sea:

Ejemplo

Si $A = \;\mathbb{R}\; \;$ y $\; \; B = [-2,3[$ , determine

Solución
Representemos a

y a

geométricamente.

De aquí podemos observar que:

i. $\; A - B =\;\; \mathbb{R}- [-2,3[\;\; =\;\; ]-\infty,-2[\;\; \cup \;\;[3,+\infty[$
$A - B =\;\; ]-\infty,-2[\;\; \cup \;\;[3,+\infty[$

ii. $B - A = [-2,3[ - \mathbb{R}= \emptyset$ ; o sea: $B - A = \emptyset$

Ejercicios

Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto

$A = \; [-10,7]\;$ ; $\; \; \; B = \{-10,7\}$
$A = \; ]-\infty,3]\;$ ; $\; \; \; B = \; \; \{0,3,5\}$
$A = \mathbb{R}\; \;$ ; $\; \; \; B = ]-5,9[$
$A = \; ]-2,6[\;$ ; $\; \; \; B = [3,+\infty[$
$A = \; ]-\infty,2[\;$ ; $\; \; \; B = \; \; ]-3,+\infty[$

Inecuaciones

	Definición
	Sean y representan expresiones algebraicas en el conjunto de los números reales entonces expresiones como: , $a \leq b$ , y $a \geq b$ reciben el nombre de desigualdades o inecuaciones y se dice que a y b son los miembros de la desigualdad.

Ejemplos

a.
b.: $\displaystyle{\frac{5}{2} \geq -2 }$
c.: $\displaystyle{3 < \sqrt{24}}$
d.: $x + 2 \geq 5$
e.: $x \leq y$
f.

	Definición
	Una desigualdad entre dos expresiones algebraica donde al menos una de ellas involucra variables, recibe el nombre de inecuación.

Ejemplos

a.: $x + 2 \geq 5$
b.: $x * y+ z \leq x + 3$
c.: $\displaystyle{\frac{x+y}{x-y} > 1}$
d.: $\displaystyle{ \sqrt{5x-2} < 3}$
e.
d.: $\displaystyle{ a^{3}-1 \geq 0}$

	Definición
	En una inecuación las variables involucradas reciben el nombre de incógnitas

	Definición
	Si la inecuación involucra n variables, se dice que es una inecuación con n incógnitas. A continuación nuestro objetivo es estudiar, analizar y resolver inecuaciones con una incógnita.

	Definición
	En una inecuación con una incógnita, cualquier número real que esté contenido en el dominio de las incógnitas, y que al sustituirse por la incógnita en la inecuación hace que la desigualdad correspondiente sea verdadera, es una solución de la inecuación.

Ejemplos

a.: En ; si se sustituye por , se obtiene una desigualdad verdadera:; además pertenece al dominio de la incógnita, por lo que es una solución de la inecuación .
b.: En $x^2 \geq 5$ , si se sustituye por , se obtiene una desigualdad verdadera: $(-3)^2 \geq 5$ ; además pertenece al dominio de la incógnita, por lo que es una solución de la inecuación $x^2 \geq 5$ .
c.: En $\displaystyle{\sqrt{x+2} < 2}$ ; si se sustituye por , se obtiene una desigualdad falsa: $\displaystyle{\sqrt{3+2} < 2}$ por lo que no es una solución de la inejuación $\displaystyle{\sqrt{x+2} < 2}$ .

Ejercicios

Para cada una de las siguientes inecuaciones, escriba 3 soluciones:
1.: $x+3 \leq -6$
2.: $\displaystyle{\frac{1}{x} > 7}$
3.: $\displaystyle{\sqrt{x+3} \geq x}$
4.: $\displaystyle{7 - x^{2} > 0}$

	Definición
	Dada una inecuación de una incógnita, el subconjunto S del dominio de la incógnita, cuyos elementos son las soluciones de la inecuación dada, recibe el nombre de conjunto solución.

Ejemplos

a.: En , el dominio de la incógnita es $\mathbb{R}$ , y esta desigualdad es verdadera únicamente para los valores de x mayores que ; por lo que su conjunto solución es $]-3,+\infty[$ o sea:

$S= ]-3 , +\infty[$
b.: En $x^{2}-4 \leq 0$ el dominio de la incógnita es $\mathbb{R}$ y se puede demostrar que esta desigualdad es verdadera únicamente para los valores de x mayores o iguales que y menores o iguales que , por lo que su conjunto solución es o sea:
c.: En $x^{2}-2x-3 > 0$ ; el dominio de la incógnita es $\mathbb{R}$ , y se puede demostrar que esta desigualdad es verdadera únicamente para los valores de x menores que o mayores que , por lo que su conjunto solucón es $]-\infty, -1[ \cup ]3, +\infty[$ o sea:
$S= ]-\infty, -1[ \cup ]3, +\infty[$

Convenio
Resolver una inecuación consiste en determinar su conjunto solución.

	Definición
	Diremos que dos inecuaciones con una incógnita son equivalente sí y solo sí, tienen el mismo dominio de la incógnita y el mismo conjunto solución.

Ejemplos

a.: El conjunto solución de $x \geq 3$ es $[3, +\infty[$
El conjunto solución de $3x \geq 6$ es $[3, +\infty[$
como las inecuaciones $x \geq 3$ y $3x \geq 6$ tienen el mismo conjunto solución , entonces son equivalentes entre sí.
b.: El conjunto solución de  es $]-\infty,5[$
El conjunto solución de  es $]-\infty,5[$
como las inecuaciones  y  tienen el mismo conjunto solución , entonces son equivalentes entre sí.